【世界の偉人⑬】伊藤清 — ブラック・ショールズを支えた日本人数学者
📅 2026年11月6日 公開
連載「世界の偉人たち」第13回。前回、1900年のバシュリエが株価の確率モデルを作りながら、それを扱いきる数学がまだ存在しなかったことを見ました。その道具を作った人物が、日本にいました。伊藤清です。
統計局の職員が書いた論文
伊藤清（1915-2008）は三重県の生まれ。東京帝国大学で数学を学びましたが、卒業後すぐに研究者になったわけではありません。内閣統計局に勤務しながら、独学で確率論の研究を進めました。
当時の確率論は、コルモゴロフによる公理化（1933年）を経てようやく厳密な数学の一分野になったばかりでした。伊藤が取り組んだのは、その先にある難題です。
ブラウン運動の経路は、いたるところ連続でありながら、いたるところ微分不可能という異様な性質を持っています。ぎざぎざが無限に細かく続くため、接線が引けないのです。
ということは——ブラウン運動を含む式に、通常の微積分がそのまま使えません。「株価がランダムに動く」というモデルを立てても、それを解析する道具がなかったのです。
伊藤の確率積分と伊藤の補題
伊藤が構築したのが確率積分（伊藤積分）と確率微分方程式の理論です。微分できないものを相手に、積分の側から新しい計算体系を作り上げました。
その中核が伊藤の補題（伊藤の公式）です。通常の微積分の連鎖律にあたるものですが、決定的に違う項が1つ加わります。確率過程 \(dX = \mu\,dt + \sigma\,dW\) に対して、関数 \(f(t, X)\) は次のように動きます。
$$df = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu \frac{\partial f}{\partial X} + \frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} \right) dt + \sigma \frac{\partial f}{\partial X} dW$$
注目すべきは、\(dt\) の括弧の中にある2階微分の項 \(\frac{1}{2}\sigma^2 \frac{\partial^2 f}{\partial X^2}\) です。通常のテイラー展開なら2次の項は無視できる微小量ですが、ブラウン運動では \((dW)^2\) が \(dt\) のオーダーで残ってしまう。この「消えない2次の項」こそが伊藤の補題の核心であり、確率解析が通常の微積分と決定的に異なる理由です。
四半世紀後、金融の世界で使われる
伊藤自身は純粋数学者であり、金融への応用を意図していたわけではありません。ところが1973年、ブラック・ショールズ式が導かれるとき、その中心に置かれたのが伊藤の補題でした。
株価が幾何ブラウン運動に従うと仮定し、オプション価格 \(V(t,S)\) に伊藤の補題を適用する。すると、株とオプションを適切に組み合わせたポートフォリオからランダムな項（\(dW\) の項）が消える——確定的なものになれば、無リスク金利で割り引ける。ここからブラック・ショールズ方程式が導かれます。
二項モデルで「株式と無リスク資産で複製する」という発想を見ましたが、その連続時間版を可能にしたのが伊藤の理論だった、というわけです。
「ウォール街で最も有名な日本人」
1980年代以降、金融工学が発展するにつれ、伊藤の名前は数学界の外に広く知られるようになります。Itô calculus、Itô's lemma——確率解析を使う分野では、日常的に登場する言葉です。
受賞歴もそれを裏づけています。1987年ウルフ賞、1998年京都賞、そして2006年、国際数学連合（IMU）とドイツ数学会（DMV）が創設した第1回ガウス賞を受賞しました。ガウス賞は数学以外の分野に大きな影響を与えた数学的業績に贈られる賞で、その最初の受賞者に選ばれたことは、伊藤の仕事の性格をよく表しています。
面白いのは、伊藤自身は金融への応用にほとんど関心を示さなかったと伝えられていることです。純粋な数学的関心から出発した仕事が、半世紀後に世界の金融市場を動かす道具になった——バシュリエとは逆向きの、けれども同じくらい示唆的な物語です。
KKTとのつながり
アクチュアリー試験の1次試験で、伊藤の補題そのものを導出させる問題が出るわけではありません。しかし、投資理論のデリバティブ分野で扱う内容は、その上に建っています。
- 株価の確率モデル（幾何ブラウン運動）→ 伊藤の確率微分方程式
- ブラック・ショールズ式の導出 → 伊藤の補題
- リスク中立価格評価の連続時間版 → 測度変換の理論
- グリークスが偏微分として定義されること → 確率解析の枠組み
2次試験に進めば、確率過程はより正面から扱う対象になります。いま学んでいる離散モデルの向こう側に、伊藤が作った連続時間の世界が広がっている——そう思って眺めると、二項モデルの位置づけも見えてきます。
まとめ
統計局の職員が、戦中戦後の日本で書き上げた理論が、四半世紀後にウォール街の共通言語になりました。
バシュリエは「早すぎて評価されなかった」人でしたが、伊藤は「本人が想定しなかった場所で使われた」人です。数学という言語の普遍性を、これほど分かりやすく示す例もそう多くありません。
明日は日本の礎シリーズ。日本に保険数学を根づかせた数学者、藤沢利喜太郎を取り上げます。
※ 厳密に言えば（補注）
- ブラウン運動が「いたるところ微分不可能」であるのは、正確には確率1で（ほとんど確実に）成り立つ性質です。個々の経路について例外なく成り立つ、という意味ではありません。
- バシュリエの時代に「扱いきる数学が存在しなかった」というのは、確率過程を厳密に扱う枠組み（測度論的確率論と確率解析）が未整備だったという意味です。当時すでにブラウン運動の物理的研究や確率論の初期的な成果はありました。
- ヘッジ後のポートフォリオを無リスク金利で割り引けるのは、連続的な取引が可能で取引費用がなく、自己金融（追加の資金投入なし）かつ無裁定であるといった前提の下での話です。伊藤の補題だけから価格式が出るわけではありません。
- グリークスが偏微分として定義されること自体は、価格式が変数の関数である以上、通常の微分の話です。確率解析が関わるのは、その価格式そのものを導く段階です。
- 「ウォール街で最も有名な日本人」は、金融工学の発展にともなって語られるようになった通称・評価であり、何らかの調査で確定した事実ではありません。
- アクチュアリー試験でどこまで確率過程を扱うかは年度の試験要領・シラバスによります。受験の際は日本アクチュアリー会の公表資料で最新の範囲を確認してください。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
