二項モデルでオプションを評価する — 1期間から多期間へ
📅 2026年10月8日 公開
デリバティブ評価の主力エンジン
過去問10年分析で見たとおり、デリバティブは投資理論で最大の配点（毎年11点前後）を持つ分野。その中でも二項モデルは10年連続で出題されている中核テーマです。
前回学んだ状態価格とリスク中立確率を、株価の変動モデルに当てはめたもの——それが二項モデルです。考え方はすでに手の内にあるので、あとは計算手順を固めるだけです。
1期間モデル — 設定と公式
現在の株価 \(S = 100\)。1期間後に上昇（×1.2）か下落（×0.9）のどちらかになるとします。無リスク金利は5%、行使価格100のコール・オプションを評価します。
- 上昇時: \(S_u = 120\) → コールの価値 \(C_u = \max(120-100, 0) = 20\)
- 下落時: \(S_d = 90\) → コールの価値 \(C_d = \max(90-100, 0) = 0\)
リスク中立確率の公式はこれです。
$$q = \frac{(1+r) - d}{u - d}$$
この式の意味は明快です。「リスク中立確率で計算した株価の期待リターンが、ちょうど無リスク金利になる」ように \(q\) を決めているのです。実際、\(q u + (1-q) d = 1+r\) を \(q\) について解くと上の式になります。
数値を入れると
$$q = \frac{1.05 - 0.9}{1.2 - 0.9} = \frac{0.15}{0.3} = 0.5$$
あとはリスク中立確率で期待値を取り、無リスク金利で割り引くだけです。
$$C = \frac{q\,C_u + (1-q)\,C_d}{1+r} = \frac{0.5 \times 20 + 0.5 \times 0}{1.05} = \frac{10}{1.05} \approx 9.52$$
株式と無リスク資産（借入）を組み合わせて、オプションと将来ペイオフが完全に一致する複製ポートフォリオを作れるからです。将来の受取が完全に同じなら、無裁定条件により現在の価格も等しくなければなりません。
この複製に必要な株数がデルタで、\(\Delta = \dfrac{C_u - C_d}{S_u - S_d} = \dfrac{20-0}{120-90} \approx 0.667\)。正確には「株式を \(2/3\) 単位買い、無リスク金利で約57.14円を借りる」ことでオプション1単位が複製されます（1期後の返済額は \(57.14 \times 1.05 = 60\)。上昇時 \(120 \times 2/3 - 60 = 20\)、下落時 \(90 \times 2/3 - 60 = 0\) となり、コールのペイオフと一致します）。現在価値も \(100 \times 2/3 - 57.14 \approx 9.52\) と、上で求めた価格に一致します。
なお、株式とオプションを組み合わせて将来価値を確定させるポートフォリオはヘッジ・ポートフォリオと呼ばれ、複製ポートフォリオとは区別されます。実際の上昇確率が計算式に一切登場しない点が、初学者がいちばん驚くところです。
2期間モデル — 後ろから前へ
同じ設定で2期間に拡張します。株価は次のように枝分かれします。
| 経路 | 株価 | コールの満期価値（K=100） |
|---|---|---|
| up-up | \(100 \times 1.2^2 = 144\) | 44 |
| up-down / down-up | \(100 \times 1.2 \times 0.9 = 108\) | 8 |
| down-down | \(100 \times 0.9^2 = 81\) | 0 |
計算は満期から現在へ、1ステップずつ後戻りします（バックワード・インダクション）。
- 1期後・上昇ノード: \(C_u = \dfrac{0.5 \times 44 + 0.5 \times 8}{1.05} \approx 24.76\)
- 1期後・下落ノード: \(C_d = \dfrac{0.5 \times 8 + 0.5 \times 0}{1.05} \approx 3.81\)
- 現在: \(C = \dfrac{0.5 \times 24.7619 + 0.5 \times 3.8095}{1.05} \approx 13.61\)（途中で丸めた24.76・3.81を使うと13.60になります。途中計算は丸めないのが鉄則です）
手順は1期間モデルの繰り返しにすぎません。ノードが増えても「各ノードでリスク中立期待値を取り、1期分割り引く」を機械的に繰り返すだけです。
アメリカン・オプション — 早期行使の判定が加わる
満期まで待たずいつでも行使できるアメリカン型では、各ノードで1つ判断が増えます。
$$\text{各ノードの価値} = \max\Bigl(\underbrace{\text{今すぐ行使した価値}}_{\text{本源的価値}},\ \underbrace{\text{保有し続けた価値}}_{\text{リスク中立期待値の割引}}\Bigr)$$
上の例の1期後・上昇ノードで確かめます。今すぐ行使すれば \(120 - 100 = 20\)、保有継続なら24.76。保有継続のほうが大きいので行使しません。
試験で押さえるべき結論は2つです。
- 配当がない株式のアメリカン・コールは、満期前に早期行使するのが最適にならない（時間価値を捨てることになるため）。したがってヨーロピアン・コールと同じ価値になります
- アメリカン・プットは早期行使が最適になり得るため、ヨーロピアン・プットより価値が高くなることがあります
この非対称性は理論正誤問題の定番です。
計算を速くする3つのコツ
- \(q\) は最初に1回だけ計算する — 全ノードで同じ値を使えます
- 再結合を使う — up-down と down-up は同じ株価に到達するので、\(n\) 期後のノード数は \(n+1\) 個にしかなりません（2期なら3ノード）。再結合しなければ \(2^n\) 個に爆発します
- 満期価値から書き出す — ツリーを右端から埋めていくと、迷いません
次につながる話
二項モデルの期間を細かくしていくと、極限でブラック・ショールズ式に一致します。「離散モデルの極限が連続モデル」という関係を知っておくと、次回学ぶBS式の理解が早くなります。
体系的な学習は投資理論 理論編 第5章 デリバティブの評価理論へ。類題トレーニングで、1期間・2期間・アメリカン型を一通り解いておきましょう。
※ 厳密に言えば（補注）
- 「期数を細かくすればブラック・ショールズ式に収束する」のは、上昇率・下落率・期間の刻み方を適切に設定した場合（たとえばコックス・ロス・ルビンシュタインの取り方）に成り立つ性質です。任意のパラメータで自動的に収束するわけではありません。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅰ 理論篇』日本経済新聞出版
- Wikipedia「二項価格評価モデル」
- 当サイト類題データベース（2016〜2025年度・753問）の集計
