ブラック・ショールズ式の読み方 — 5つの変数と式の意味
📅 2026年10月15日 公開
怖がらなくてよい理由
ブラック・ショールズ式は、初見だと記号の壁に見えます。しかし二項モデルを理解していれば、実は同じことを言っているだけです（二項モデルの期間を細かくしていった極限がBS式です）。
試験で求められるのも、式を導出することではなく「構造を読み、変数の影響を判断し、必要なら値を代入する」ことです。今回はその読み方を身につけます。
式の全体像
配当のないヨーロピアン・コール・オプションの価格は
$$C = S\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$
$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$
まず大枠だけ見てください。第1項が「株価 × ある確率」、第2項が「割引した行使価格 × ある確率」。つまり
$$\text{コールの価値} = \text{もらえるもの（株）の期待価値} - \text{払うもの（行使価格）の期待現在価値}$$
という、極めて素直な引き算です。オプションの本源的価値 \(S - K\) の各項に「確率の重み」と「割引」が付いただけ、と捉えると一気に見通しが良くなります。
N(d₁) と N(d₂) の意味
\(N(\cdot)\) は標準正規分布の累積分布関数（0〜1の値）です。それぞれ役割が違います。
| 記号 | 意味 | 役割 |
|---|---|---|
| \(N(d_2)\) | リスク中立の世界でオプションが行使される確率 | 行使価格 \(K\) を実際に支払う確率 |
| \(N(d_1)\) | デルタ（株価が1動いたときのオプション価格の変化） | 複製に必要な株数。ヘッジ比率 |
二項モデルでデルタ＝複製に必要な株数だったことを思い出してください。BS式でもまったく同じ役割を \(N(d_1)\) が担っています。連続時間になっても、「株と借入でオプションを複製する」という発想は変わらないのです。
5つの変数がオプション価格をどう動かすか
試験で最も問われるのがこの感応度です。コールとプットで方向が異なる点に注意してください。
| 変数 | 上がると コール | 上がると プット | 直感的な理由 |
|---|---|---|---|
| 株価 \(S\) | 上昇 | 下落 | 対象資産の価格が高いほど、決まった価格で買えるコールは有利 |
| 行使価格 \(K\) | 下落 | 上昇 | 安く買える権利ほどコールは有利 |
| ボラティリティ \(\sigma\) | 上昇 | 上昇 | 下振れは権利放棄で切れるので、振れ幅が大きいほど有利（両方とも上がる） |
| 残存期間 \(T\) | 通常 上昇 | 通常 上昇 | 時間があるほどチャンスが増える |
| 無リスク金利 \(r\) | 上昇 | 下落 | 行使価格の現在価値 \(Ke^{-rT}\) が小さくなるため |
理由はオプションの非対称性にあります。オプションは「権利」であって「義務」ではないので、不利な方向に大きく動いても損失は最大でもプレミアム分。一方、有利な方向に大きく動けば利益は伸びる。振れ幅の拡大は「良いほうだけ」拾えるため、価格が上がります。
前提と限界を知っておく
BS式は次のような仮定の上に立っています。理論正誤問題でよく問われる部分です。
- 株価は幾何ブラウン運動に従う（対数正規分布）
- ボラティリティと無リスク金利は一定
- 取引費用・税金がなく、連続的に取引・ヘッジできる
- 配当がない（配当がある場合は修正が必要）
- ヨーロピアン型（満期にのみ行使可能）
現実の市場では、行使価格ごとにインプライド・ボラティリティが異なるボラティリティ・スマイルが観測されます。これは「ボラティリティ一定」という仮定が現実と合わないことの表れです。モデルは前提の上で成立する道具であり、前提と限界を知って使う——ヒックスがIS-LMについて示した留保と同じ姿勢が、ここでも求められます。
プットの価格は導かなくてよい
プットのBS式を丸暗記する必要はありません。プット・コール・パリティ（次回のテーマ）を使えば、コールの価格から即座に導けるからです。
$$P = C - S + Ke^{-rT}$$
覚える式を減らせるうえ、パリティの理解も深まります。
試験での問われ方
- 感応度: 「ボラティリティが上昇したときコール・プットの価格はどう動くか」という正誤・選択問題
- グリークス: デルタ・ガンマ・ベガ・セータ・ローの符号と意味（10年分析では近年出題が増えている領域です）
- 計算: \(d_1, d_2\) を計算し、標準正規分布表から \(N(d_1), N(d_2)\) を読んで価格を求める
- 理論正誤: 前提条件、二項モデルとの関係、インプライド・ボラティリティの意味
計算問題では正規分布表の読み取りが必要ですが、これは必要な数学で触れたとおり「表を引くだけ」です。数式の導出は求められません。
学習への落とし込み
ブラック・ショールズ式は投資理論 理論編 第5章で、二項モデル・グリークスとあわせて扱います。まず「株の項 − 割引行使価格の項」という大枠と、5変数の感応度の表を頭に入れてください。明日は偉人伝、ミルトン・フリードマンです。
※ 厳密に言えば（補注）
- \(N(d_2)\) はリスク中立確率のもとでの行使確率、\(N(d_1)\) はコールのデルタであり、いずれも現実の確率そのものではありません。本文の「確率」という表現は、リスク中立測度のもとでの値を指しています。
- コールの本源的価値は正確には \(\max(S-K,\,0)\) です。アウト・オブ・ザ・マネーでは \(S-K\) が負になりますが、本源的価値はゼロです。
- 残存期間が長いほどプットの価格が高くなるとは限りません。ヨーロピアン・プットでは、金利が高くディープ・イン・ザ・マネーの場合など、残存期間が長いほど価格が下がることがあります（アメリカン・プットでは常に非減少です）。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅰ 理論篇』日本経済新聞出版
- Wikipedia「ブラック・ショールズ方程式」
