KKTに必要な数学まとめ — 微分・確率・期待値はどこまでやればいいか
📅 2026年10月5日 公開
「文系だけど投資理論は大丈夫か」
KKTの学習相談で会計の次に多いのが、この不安です。結論から言えば、KKTで必要な数学は限られており、高校数学＋αで十分に戦えます。数学科目（1次試験の「数学」）が確率・統計・モデリングを本格的に扱うのに対し、KKTの数学は「道具として使えればよい」レベルです。
とはいえ「＋α」が何なのかが分からないと不安は消えません。今回は分野別に、実際に使う数学を具体的に洗い出します。
分野別・必要な数学の一覧
| 分野 | 使う数学 | レベル感 |
|---|---|---|
| 会計 | 四則演算、割合、等比数列の和（利息法・年金現価） | 中学〜高校前半 |
| 経済 | 1次・2次関数、連立方程式、微分（限界○○の計算）、面積計算 | 高校数学Ⅱまで |
| 投資理論 | 期待値・分散・共分散、微分、指数対数、等比数列、確率 | 高校数学Ⅱ・B＋α |
「＋α」にあたるのは、正規分布の扱い（標準正規分布表の読み方）とテイラー展開の考え方くらいです。どちらも意味が分かれば十分で、証明ができる必要はありません。
① 期待値・分散・共分散 — 投資理論の主食
最も使用頻度が高いのがこれです。定義を確認しておきましょう。
$$E[X] = \sum p_i x_i, \qquad V[X] = E[(X-E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$$
$$\mathrm{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y], \qquad \rho = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$
そして実務上いちばん使うのが線形性です。
$$E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y], \qquad V[aX+bY] = a^2V[X] + b^2V[Y] + 2ab\,\mathrm{Cov}(X,Y)$$
この分散の式が、そのままポートフォリオの分散になります。「期待値は素直に足せるが、分散は共分散の項が付く」——この一点を体に入れておけば、ポートフォリオ理論の計算はほぼ乗り切れます。
② 微分 — 「最大・最小」を求めるため
微分が登場するのは、ほぼ最適化（最大化・最小化）の場面だけです。
- 経済: 利潤最大化（限界収入＝限界費用）、効用最大化、点弾力性
- 投資理論: 最小分散ポートフォリオ（分散を配分比率で微分してゼロと置く）、デュレーション（債券価格を利回りで微分）
必要なのは、多項式の微分・積の微分・合成関数の微分（連鎖律）と、「1階微分＝0 は極値の必要条件」という考え方まで（十分条件ではありません。実際に極大か極小かは2階微分の符号などで判定します）。偏微分が出てくる場面もありますが、「他の変数を定数と見て微分するだけ」と理解しておけば十分です。
③ 指数・対数 — 割引と連続複利
金利計算の道具です。押さえるべきは次の3点。
- 複利計算: \((1+r)^n\) と割引 \(1/(1+r)^n\)
- 連続複利: \(e^{rt}\)。デリバティブ評価やブラック・ショールズ式で登場します
- 対数: \(\log\) の基本性質（積が和になる）。効用関数 \(u(x)=\log x\)、対数収益率で使います
④ 等比数列の和 — 「永久に続く」を1行にする
意外と出番が多いのがこれです。
$$\sum_{t=1}^{n} ar^{t-1} = a\frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1), \qquad \sum_{t=1}^{\infty} ar^{t-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)$$
有限和の式は \(r \neq 1\) のときのもので、\(r = 1\) なら和は単純に \(an\) です。無限和は \(|r|<1\) が必須条件になります。
この無限等比級数が、ゴードン・モデル（配当割引モデル）\(P = \dfrac{D_1}{r-g}\)（\(r > g\) が成立条件。成長率が割引率以上だと級数が発散して価格が定まりません）、繰り返しゲームの割引現在価値、そして債券・年金の現価計算のすべてに使われます。「無限に続くキャッシュフローの価値は割り算1つで出せる」——KKT全体でいちばん元が取れる公式かもしれません。
⑤ 正規分布・テイラー展開（＋αの部分）
- 正規分布: ブラック・ショールズ式の \(N(d_1), N(d_2)\)、VaRの計算で使います。標準正規分布表を読めれば十分で、密度関数の積分を自力でやる必要はありません
- テイラー展開: 債券価格の変化を「デュレーション（1次）＋コンベキシティ（2次）」で近似する場面で登場します。「関数を多項式で近似する」という発想だけ理解しておけばOKです
数学が不安な人の進め方
- 先に走らない: 数学を完璧にしてから投資理論、では時間が足りません。講義を読み、詰まったところだけ数学に戻るのが効率的です
- 手を動かす: 数式を眺めるだけでは身につきません。数値例を自分の手で最後まで計算してください
- 公式は導出を1回たどる: 丸暗記は忘れますが、1度導出をたどった公式は再現できます
まとめ
KKTの数学は「期待値・分散、微分、指数対数、等比数列の和」の4点セット＋α。範囲が限られているぶん、集中的に補えば短期間で追いつけます。数学を理由にKKTを避けるのは、いちばんもったいない選択です。
※ 厳密に言えば（補注）
- 本文で挙げた4点セットは「これだけで足りる」という意味ではなく、優先して固めるべき土台という趣旨です。実際の出題では、行列・ベクトルの初歩、条件付き期待値、簡単な最適化（ラグランジュ未定乗数法）などが必要になる場面もあります。
- 「1階微分＝0」で求めた点が極大か極小かは2階微分の符号で判定します。また、制約条件付きの最適化では条件が変わります。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅰ 理論篇』日本経済新聞出版
- 伊藤元重『入門経済学』第4版、日本評論社
