YTMとイールドカーブ — 債券価格と利回りの基礎
📅 2026年11月5日 公開
債券は「将来のキャッシュフローの束」
ここから数回にわたって債券投資分析を扱います。配点の分析で見たとおり、投資理論のなかで債券は安定して問われ続けている領域です。そして保険会社の資産運用の主役でもあります。
債券の本質は驚くほど単純です。あらかじめ決まった日に、決まった金額を受け取る権利——それだけです。だとすれば価格は、その受取額の現在価値の合計にほかなりません。
$$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{F}{(1+y)^n}$$
\(C\) はクーポン（利札）、\(F\) は額面、\(n\) は残存期間、\(y\) が最終利回り（YTM: Yield to Maturity）です。
YTMとは何者か
上の式を見ると、価格 \(P\) が分かっているとき、その価格になるような割引率 \(y\) を逆算していることになります。
計算してみる
額面100円、クーポン年5円（年5％）、残存3年、市場価格95円の債券を考えます。
$$\frac{5}{1+y} + \frac{5}{(1+y)^2} + \frac{105}{(1+y)^3} = 95$$
この方程式は手では解けないので、試験でも実務でも試行錯誤（または電卓・表計算）で求めます。\(y = 6.9\%\) を入れてみます。
| 年 | 受取額 | 割引係数 | 現在価値 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 1/1.069 = 0.9355 | 4.677 |
| 2 | 5 | 1/1.0692 = 0.8751 | 4.375 |
| 3 | 105 | 1/1.0693 = 0.8186 | 85.952 |
| 合計 | 95.00 | ||
合計は95.00（端数処理前は95.0047）。市場価格95円とほぼ一致したので、YTMは約6.9％と分かります。
単利最終利回りとの違い
実務では、もっと簡便な単利最終利回りもよく使われます。
$$\text{単利最終利回り} = \frac{C + \dfrac{F - P}{n}}{P} = \frac{5 + \dfrac{100-95}{3}}{95} = \frac{6.667}{95} \approx 7.02\%$$
複利ベースの6.9％に対して7.02％。この債券では単利のほうが高く出ました。単利計算は「利息に利息がつく」効果を織り込まないので、同じキャッシュフローを表すのに必要な率が複利より高くなるためです。
上のようにアンダーパー（価格 ＜ 額面）の債券では単利 ＞ 複利になりますが、オーバーパーの債券では逆に単利 ＜ 複利となることがあります。単利は償還差損益を残存期間で均等に割り振るため、差損益の符号によって大小関係が変わるのです。「単利のほうが高い」と暗記せず、定義に戻って計算するのが確実です。
価格と利回りは逆に動く
債券のもっとも基本的な性質です。金利が上がれば債券価格は下がり、金利が下がれば債券価格は上がります。
理由は式を見れば明らかで、\(y\) は分母にいるからです。すでに発行された債券のクーポンは固定されているので、市場金利が上がると「相対的に見劣りする」ようになり、価格が下がることで帳尻を合わせるわけです。
ここから3つの関係が導かれます。
- クーポン率 ＞ YTM のとき、価格 ＞ 額面（オーバーパー）
- クーポン率 ＝ YTM のとき、価格 ＝ 額面（パー）
- クーポン率 ＜ YTM のとき、価格 ＜ 額面（アンダーパー）
先ほどの例はクーポン5％ ＜ YTM 6.9％ なので、価格95円のアンダーパー。整合しています。
スポットレートとイールドカーブ
ここまでは「すべての期間に同じ \(y\) を使う」という単純化をしていました。しかし現実には、1年後のお金を割り引く金利と、10年後のお金を割り引く金利は違います。
期間 \(t\) のお金だけを割り引く金利をスポットレート \(s_t\) と呼び、これを期間の順に並べたグラフがイールドカーブ（利回り曲線）です。
$$P = \frac{C}{1+s_1} + \frac{C}{(1+s_2)^2} + \dots + \frac{C+F}{(1+s_n)^n}$$
カーブの3つの形
| 形 | 状態 | 一般的な解釈 |
|---|---|---|
| 順イールド | 右上がり（長期 ＞ 短期） | もっとも標準的な形。将来の金利上昇期待、期間が長いことへの上乗せ |
| フラット | ほぼ水平 | 転換期に現れやすい |
| 逆イールド | 右下がり（長期 ＜ 短期） | 将来の金利低下期待。景気後退の前触れとされることがある |
フォワードレート
スポットレートが分かると、将来のある期間に適用される金利を逆算できます。これがフォワードレートです。
「2年間預ける」のと「1年預けて、そのあともう1年預ける」のが等価になるはず、という無裁定の考え方から導きます。
$$(1+s_2)^2 = (1+s_1)(1+f_{1,2})$$
たとえば \(s_1 = 1\%\)、\(s_2 = 2\%\) なら
$$1 + f_{1,2} = \frac{1.02^2}{1.01} = \frac{1.0404}{1.01} = 1.03010 \quad \Longrightarrow \quad f_{1,2} \approx 3.01\%$$
「1年後から始まる1年物の金利は約3％」と市場が織り込んでいる、と読みます。短期1％・長期2％というゆるやかな順イールドでも、そこから読み取れる将来の1年金利は約3％——この落差が、イールドカーブ分析の面白いところです。
アクチュアリーにとっての意味
保険会社は長期の保険負債を抱え、それに見合う資産として債券を大量に保有します。負債の割引に使う金利と、資産の利回りが連動して動くため、イールドカーブの形とその変化は経営の根幹に関わります。
年金数理でも、給付債務の割引率はイールドカーブと無関係ではいられません。「金利が動くと、資産と負債の両方が動く」——この視点が次回以降のデュレーション、そしてイミュニゼーションにつながります。
学習への落とし込み
債券は投資理論 実務編 第1章 債券投資分析で扱います。まずは価格からYTMを試行錯誤で求める手順と、スポットレートからフォワードレートを出す式。この2つが計算問題の中心です。
明日は偉人伝。ウォール街でその名が知られる日本人数学者、伊藤清を取り上げます。
※ 厳密に言えば（補注）
- 本文の価格式はクーポンが年1回・次の利払日までがちょうど1年という単純化の下で書いています。実際の債券は半年払いが多く、途中で売買すれば端数期間（経過利子）の調整が必要です。
- YTMは「満期まで保有したときの年あたり収益率」ですが、実際にその収益率が実現するのは、受け取ったクーポンを同じ利回りで再投資できた場合だけです。再投資利回りが違えば、事後的な実現収益率はYTMとずれます。
- 厳密には、スポットレートを期間別に並べた曲線（スポットカーブ）と、利付債のYTMを並べた曲線（パーイールドカーブ等）は別物です。本文では入口として両者をまとめて「イールドカーブ」と呼んでいます。
- フォワードレートは無裁定から導かれる「市場が織り込んでいる率」であり、将来の金利予想そのものではありません。期間プレミアム（長期を保有することへの上乗せ）が含まれるため、実際に実現する将来の1年金利とは一致しないのが通常です。同様に、順イールド／逆イールドの解釈も一般的な読み方であって、景気を確実に予測するものではありません。
- 保険負債の割引率と資産利回りの関係は、会計基準・監督規制・評価目的によって扱いが異なります（責任準備金の積立基準、経済価値ベースの評価、退職給付会計の割引率など）。本文は「長期の約束を割り引く事業は金利リスクを抱える」という構造の共通点を述べたものです。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅱ 実務篇』日本経済新聞出版
- 当サイト類題データベース（2016〜2025年度・753問）の集計
