プット・コール・パリティ — 裁定が支える等式
📅 2026年10月22日 公開
コールとプットは独立ではない
同じ株式・同じ行使価格・同じ満期のコールとプット。この2つの価格は、実は1本の等式で固く結ばれています。
$$C - P = S - \frac{K}{(1+r)^T}$$
（C＝コール価格、P＝プット価格、S＝現在の株価、K＝行使価格、T＝満期までの期間。連続複利なら \(Ke^{-rT}\)）
これがプット・コール・パリティです。前回「プットの式は覚えなくてよい」と書いたのは、この等式があるからです。
なぜ成り立つのか — 2つのポートフォリオを比べる
証明は驚くほど単純です。満期に同じ結果になる2つの組み合わせは、今の価格も同じでなければならない（無裁定条件）。それだけです。
次の2つを用意します。
- ポートフォリオA: コール1枚を買い、K の現在価値だけ現金を持つ（＝安全資産に投資）
- ポートフォリオB: プット1枚を買い、株式1株を持つ
満期の株価 \(S_T\) で場合分けします。
| \(S_T > K\)（株価が高い） | \(S_T \le K\)（株価が低い） | |
|---|---|---|
| A: コール＋現金K | \((S_T - K) + K = S_T\) | \(0 + K = K\) |
| B: プット＋株式 | \(0 + S_T = S_T\) | \((K - S_T) + S_T = K\) |
どちらの場合も、AとBの価値は完全に一致します。将来が常に同じなら、現在の価格も同じでなければならない——
$$C + \frac{K}{(1+r)^T} = P + S$$
移項すれば冒頭の式です。覚えるべきは式ではなく、この表。試験中に忘れても、2つのポートフォリオを書けば5秒で復元できます。
数値例 — プット価格を求める
株価 \(S = 100\)、行使価格 \(K = 95\)、無リスク金利 \(r = 5\%\)、満期1年、コール価格 \(C = 12\) のとき、プットの理論価格は？
$$P = C - S + \frac{K}{1+r} = 12 - 100 + \frac{95}{1.05} = 12 - 100 + 90.476 \approx \boldsymbol{2.48}$$
コールの価格さえ分かれば、プットは引き算で出る。暗記量を半分にできるのがパリティの実用的な価値です。
崩れたらどうなるか — 裁定の手順
もし市場でプットが5.00で取引されていたら（理論値2.48より割高）、リスクなしで利益を得られます。
やること: 割高なほう（プット＋株式のポートフォリオB）を売り、割安なほう（コール＋現金のポートフォリオA）を買う。
- プットを売る（+5.00）、株式を空売りする（+100）
- コールを買う（−12）、\(95/1.05 = 90.48\) を安全資産で運用（−90.48）
- 今すぐの収支: \(5.00 + 100 - 12 - 90.48 = +2.52\)
満期には、上の表のとおりAとBの価値が相殺されるので追加の損益はゼロ。つまり今日受け取った2.52がノーリスクの利益です。
現実の市場では、こうした裁定機会は瞬時に消えます。だからこそパリティは「成り立っているはずの関係」として使えるのです。
① パリティ式で理論値を計算する → ② 市場価格と比べ、割高なほうを売り、割安なほうを買う → ③ 今日の収支を計算する（これが利益） → ④ 満期のペイオフが相殺されることを確認する。
「どちらを買ってどちらを売るか」で迷ったら、割安を買うという原則に戻れば間違えません。
そこから見える性質
パリティを変形すると、いろいろなことが読み取れます。
- 合成ポジション: \(C - P = S - Ke^{-rT}\) は「コール買い＋プット売り＝株式のロング（＋借入）」を意味します。オプションで株式のポジションを合成できるということです
- プロテクティブ・プット: 「株式＋プット」は「コール＋現金」と同じ。下落を防ぎつつ上昇に乗る戦略の正体が見えます
- 配当がある場合: 株式が配当を払うなら、その現在価値 \(D\) を差し引いて \(C - P = S - D - Ke^{-rT}\) となります
- アメリカン型には使えない: 上の等式はヨーロピアン型で成立します。早期行使が可能なアメリカン型では等式ではなく不等式の関係になります。これは頻出の注意点です
試験での問われ方
過去問10年分析では、プット・コール・パリティは10年中6年で出題されています。典型的なのは——
- コール価格・株価・行使価格・金利を与えてプット価格を求める（またはその逆）
- 市場価格が理論値とずれているときの裁定取引の手順を選ばせる
- 理論正誤: 「パリティはアメリカン・オプションでも等式として成立する」→ 誤り
学習への落とし込み
プット・コール・パリティは投資理論 理論編 第5章で、二項モデル・BS式・オプション戦略とあわせて扱います。2つのポートフォリオの表を自分で書けること——これが今回の到達目標です。明日は偉人伝、ハリー・マーコウィッツをお届けします。
※ 厳密に言えば（補注）
- パリティが成り立つのは、同一原資産・同一行使価格・同一満期のヨーロピアン・オプションについて、取引コストや空売り制約がない前提のもとです。アメリカン・オプションでは等式ではなく不等式の関係になります。
- 配当がある場合の式は、配当額と支払時期が確定している前提で成り立ちます。配当が不確実な場合は、そのままでは適用できません。
- 現実の市場では、取引コスト・売買スプレッド・借株コストなどにより、パリティからの乖離が一定の幅で残ることがあります。「瞬時に消える」は理論上の説明です。
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📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅰ 理論篇』日本経済新聞出版
- Wikipedia「オプション取引」
