デュレーションとコンベクシティ — 金利リスクの物差し
📅 2026年11月12日 公開
「金利が1％動いたら、いくら損するのか」
前回、金利が上がれば債券価格は下がることを確認しました。ではどれだけ下がるのか。この問いに数字で答える道具がデュレーションです。
保険会社にとってこれは学問上の関心事ではありません。資産（債券）と負債（責任準備金）の両方が金利で動くため、その動き方の差が経営そのものを揺らします。ALMの出発点がここにあります。
マコーレー・デュレーション — 平均回収期間
デュレーションには2つの顔があります。まず1つ目、キャッシュフローを受け取るまでの加重平均年数という顔です。
$$D = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^t}}{P}$$
各時点の現在価値を「重み」として、受取時期 \(t\) を平均したものです。「この債券のお金は、平均して何年後に返ってくるか」を表します。
計算してみる
前回と同じ債券——額面100円、クーポン5円、残存3年、YTM 6.9％、価格95.00円——で計算します。
| 年 \(t\) | CF | 現在価値 | \(t \times\) 現在価値 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 4.677 | 4.677 |
| 2 | 5 | 4.375 | 8.751 |
| 3 | 105 | 85.952 | 257.856 |
| 合計 | 95.00 | 271.284 | |
$$D = \frac{271.284}{95.00} \approx 2.856 \ \text{年}$$
残存期間は3年ですが、デュレーションは2.856年。途中でクーポンを受け取る分だけ、実質的な回収は満期より早いのです。
途中のキャッシュフローがないので、加重平均するまでもなく満期の一点だけ。\(D = n\) になります。
逆に言えば、クーポンが高いほどデュレーションは短くなります。お金が早く返ってくるからです。この関係は正誤問題でよく問われます。
修正デュレーション — 価格感応度
2つ目の顔がこちらで、実務でも試験でも使うのはこちらです。価格を利回りで微分すると、次の関係が得られます。
$$\frac{dP}{dy} = -\frac{D}{1+y} P \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y, \quad D_{mod} = \frac{D}{1+y}$$
先ほどの債券なら
$$D_{mod} = \frac{2.856}{1.069} \approx 2.671$$
「金利が1％ポイント上がると、価格は約2.67％下がる」と読みます。これがデュレーションの実用的な意味です。
精度を確かめる
利回りが6.9％から7.9％へ1％ポイント上がったとします。
- デュレーションによる予測: \(95.00 \times (1 - 0.02671) = 92.46\) 円
- 実際に計算し直した価格: \(\dfrac{5}{1.079} + \dfrac{5}{1.079^2} + \dfrac{105}{1.079^3} = 92.51\) 円
予測92.46に対して実際92.51。0.05円ずれました。悪くない精度ですが、ずれる方向に注目してください。実際の価格のほうが高い——つまりデュレーションは損失を過大に見積もっています。
コンベクシティ — ずれの正体
このずれは誤差ではなく、構造的なものです。価格と利回りの関係は直線ではなく、原点に向かって凸のカーブだからです。デュレーションはそのカーブに引いた接線であり、接線は常にカーブの下側を通ります。
このカーブの曲がり具合がコンベクシティです。
$$C = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{n} t(t+1) \cdot \frac{CF_t}{(1+y)^t}}{P(1+y)^2}$$
先ほどの債券で計算すると
| 年 \(t\) | \(t(t+1)\) | 現在価値 | 積 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4.677 | 9.355 |
| 2 | 6 | 4.375 | 26.252 |
| 3 | 12 | 85.952 | 1,031.425 |
| 合計 | 1,067.032 | ||
$$C = \frac{1{,}067.032}{95.00 \times 1.069^2} = \frac{1{,}067.032}{108.56} \approx 9.83$$
2次まで含めた近似
$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C (\Delta y)^2$$
$$= -2.671 \times 0.01 + \frac{1}{2} \times 9.83 \times 0.0001 = -0.02671 + 0.00049 = -0.02622$$
$$P \approx 95.00 \times (1 - 0.02622) = 92.51 \ \text{円}$$
実際の価格92.51と一致しました。テイラー展開の2次項を足すだけで、精度が劇的に上がります。
コンベクシティは投資家に有利
式の第2項 \(\frac{1}{2}C(\Delta y)^2\) は、\(\Delta y\) の符号によらず常に正です。ここから重要な性質が出ます。
- 金利が下がるとき → デュレーションの予測より価格はもっと上がる
- 金利が上がるとき → デュレーションの予測より価格の下落は小さくて済む
どちらに動いても投資家に有利。だから、同じデュレーションならコンベクシティが大きい債券のほうが望ましいとされます（その分、市場では価格に織り込まれます）。
アクチュアリーの視点 — 資産と負債の両側
保険会社の負債もまた、将来キャッシュフローの割引現在価値です。ということは——負債にもデュレーションがあります。
生命保険や年金の負債は数十年に及ぶため、そのデュレーションは資産（債券）よりも長くなりがちです。ここに構造的な問題が生じます。
金利変動が純資産に与える影響は、デュレーションの長短だけでなく、資産と負債それぞれの金額規模を掛けた「金額加重」で決まります。
$$\Delta(\text{純資産}) \approx -\left( D_A^{mod} \cdot A - D_L^{mod} \cdot L \right) \Delta y$$
つまり \(D_L \times L\) が \(D_A \times A\) を上回っている状態で金利が下がると、負債の増加が資産の増加を上回り、純資産が減ります。デュレーションの比較だけで結論は出ない、というのがポイントです。退職給付会計で見た「割引率1％低下で債務が約10％増える」のと同じ現象が、保険会社の財務全体で起きるということです。
これを管理する手法が次回のテーマ、イミュニゼーションです。
試験での押さえどころ
- マコーレー・デュレーションの計算 — 加重平均の表を作る手順を体に入れる
- 修正デュレーション — \(D/(1+y)\)。価格変化率の近似に使う
- 性質の正誤 — クーポンが高いほど短い／残存期間が長いほど長い／ゼロクーポン債は残存期間に一致
- コンベクシティ — 2次の補正項は常に正。投資家に有利
投資理論 実務編 第1章 債券投資分析の中心論点です。計算手順が決まっているぶん、練習した分だけ確実に点になるタイプの問題でもあります。
明日は偉人伝、ウィリアム・シャープ。CAPMを打ち立てた一人であり、シャープ・レシオの考案者です。
※ 厳密に言えば（補注）
- 本文の各式は、キャッシュフローが金利水準によって変わらない（固定利付債）こと、イールドカーブが平行にシフトすること、年1回複利で割り引くことを前提にしています。期限前償還条項のある債券や、金利に応じて元本・クーポンが変わる商品には、そのままの形では使えません。
- コンベクシティが正で「接線がカーブの下側を通る」のも、上と同じ通常の固定利付債の場合です。コーラブル債やMBSでは、金利低下時に期限前償還が起きるため負のコンベクシティを示すことがあります。
- 「クーポンが高いほどデュレーションは短い」「残存期間が長いほど長い」は、他の条件を一定にした比較としての性質です。とくに後者には例外があり、大幅なディスカウント債などでは、残存期間を延ばしてもマコーレー・デュレーションがそれ以上伸びない（あるいは短くなる）領域が現れます。
- 本文の計算表は、各行を小数第3位で表示したうえで合計しています。厳密な値（\(y=6.9\%\) での価格 95.005 など）とはわずかにずれます。
- 保険負債の金利感応度は、会計上の責任準備金と、経済価値ベースで評価した保険負債とで大きく異なります。会計上の責任準備金は必ずしも時々の市場金利で再評価されるわけではありません。
- 負債のデュレーションが資産より長くなりやすいのは生命保険・年金に典型的な傾向ですが、実際のギャップは商品構成と資産運用方針によって個社ごとに異なります。退職給付会計の記事で示した「割引率1％低下で債務が約10％増」も、残存期間10年という設定にもとづく例示値です。
📖 あわせて学ぶ（無料講義・動画）
📚 参考文献・参考リンク
- 小林孝雄・芹田敏夫『新・証券投資論Ⅱ 実務篇』日本経済新聞出版
- Wikipedia「デュレーション」
